Contoh Soal Barisan Geometri
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki perbandingan yang selalu sama antara dua suku yang berurutan. Perbandingan dua suku yang berurutan dalam barisan geometri disebut rasio.
Rumus umum barisan geometri untuk mencari suku ke-n adalah sebagai berikut:
a_n = a_1 r^{n-1} Dimana:
- $a_n$ adalah suku ke-n
- $a_1$ adalah suku pertama
- $r$ adalah rasio
Berikut adalah beberapa contoh soal barisan geometri beserta pembahasannya:
Contoh 1
Diberikan barisan geometri 2, 4, 8, 16, 32, …
Tentukan suku ke-5 dari barisan tersebut.
Penyelesaian:
Diketahui bahwa suku pertama barisan tersebut adalah 2 dan rasionya adalah 4/2 = 2.
Oleh karena itu, suku ke-5 adalah:
a_5 = 2 \cdot 2^{5-1} = 2 \cdot 2^4 = 2^5 = 32 Jadi, suku ke-5 dari barisan tersebut adalah 32.
Contoh 2
Diberikan barisan geometri 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Tentukan suku ke-6 dari barisan tersebut.
Penyelesaian:
Diketahui bahwa suku pertama barisan tersebut adalah 1/2 dan rasionya adalah 1/2.
Oleh karena itu, suku ke-6 adalah:
a_6 = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6-1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^5} = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}
Jadi, suku ke-6 dari barisan tersebut adalah 1/64.
Contoh 3
Diberikan barisan geometri 3, 6, 12, 24, …
Tentukan jumlah 10 suku pertama dari barisan tersebut.
Penyelesaian:
Jumlah 10 suku pertama dari barisan geometri dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut:
S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r} Dimana:
- $S_n$ adalah jumlah n suku pertama
- $a_1$ adalah suku pertama
- $r$ adalah rasio
Pada contoh ini, suku pertama adalah 3 dan rasionya adalah 2.
Oleh karena itu, jumlah 10 suku pertama dari barisan tersebut adalah:
S_{10} = \frac{3(1-2^{10})}{1-2} = \frac{3(1-1024)}{-1} = \frac{-1021}{-1} = \boxed{1021} Contoh 4
Diberikan barisan geometri 1, 2, 4, 8, …
Tentukan suku ke-n dari barisan tersebut.
Penyelesaian:
Diketahui bahwa suku pertama barisan tersebut adalah 1 dan rasionya adalah 2.
Oleh karena itu, suku ke-n adalah:
a_n = 1 \cdot 2^{n-1} Jadi, suku ke-n dari barisan tersebut adalah 2^(n-1).
Contoh 5
Diberikan barisan geometri 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Tentukan suku ke-n dari barisan tersebut.
Penyelesaian:
Diketahui bahwa suku pertama barisan tersebut adalah 1/2 dan rasionya adalah 1/2.
Oleh karena itu, suku ke-n adalah:
a_n = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} Jadi, suku ke-n dari barisan tersebut adalah 1/(2^n).
Demikianlah beberapa contoh soal barisan geometri