Contoh Soal Integral
Integral adalah salah satu materi penting dalam kalkulus. Integral memiliki dua jenis, yaitu integral tentu dan integral tak tentu. Integral tentu adalah integral yang memiliki batas awal dan batas akhir yang telah ditentukan. Sedangkan integral tak tentu adalah integral yang tidak memiliki batas awal dan batas akhir.
Integral Tentu
Integral tentu digunakan untuk menghitung luas, volume, kerja, dan sebagainya. Berikut ini adalah beberapa contoh soal integral tentu:
- Luas daerah di bawah kurva y = f(x) dari x = a hingga x = b
Integral tentu dapat digunakan untuk menghitung luas daerah di bawah kurva y = f(x) dari x = a hingga x = b. Rumusnya adalah sebagai berikut:
∫_a^b f(x) dx Misalnya, diketahui fungsi y = f(x) = x^2 dan a = 1, b = 2. Maka luas daerah di bawah kurva tersebut adalah sebagai berikut:
∫_1^2 x^2 dx = (x^3)/3 = (2^3)/3 - (1^3)/3 = 8/3 - 1/3 = 7/3 Jadi, luas daerah tersebut adalah 7/3.
- Volume benda putar
Integral tentu juga dapat digunakan untuk menghitung volume benda putar. Rumusnya adalah sebagai berikut:
∫_a^b π [f(x)]^2 dx Misalnya, diketahui fungsi y = f(x) = x^2 dan a = 0, b = 2. Maka volume benda putar yang terbentuk oleh kurva tersebut adalah sebagai berikut:
∫_0^2 π (x^2)^2 dx = π ∫_0^2 x^4 dx = π (x^5)/5 = π (2^5)/5 - π (0^5)/5 = 32π/5 Jadi, volume benda putar tersebut adalah 32π/5.
- Kerja
Integral tentu juga dapat digunakan untuk menghitung kerja. Rumusnya adalah sebagai berikut:
∫_a^b F(x) dx Misalnya, diketahui gaya F(x) = x^2 dan a = 0, b = 2. Maka kerja yang dilakukan gaya tersebut adalah sebagai berikut:
∫_0^2 x^2 dx = (x^3)/3 = (2^3)/3 - (0^3)/3 = 8/3 Jadi, kerja yang dilakukan gaya tersebut adalah 8/3.
Integral Tak Tentu
Integral tak tentu digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Berikut ini adalah beberapa contoh soal integral tak tentu:
- Menentukan fungsi f(x) jika f ‘(x) = 2x + 3
Integral tak tentu dari 2x + 3 adalah x^2 + 3x + C. Maka fungsi f(x) adalah sebagai berikut:
f(x) = ∫ (2x + 3) dx = x^2 + 3x + C - Menentukan fungsi f(x) jika f ‘(x) = x^2
Integral tak tentu dari x^2 adalah x^3/3 + C. Maka fungsi f(x) adalah sebagai berikut:
f(x) = ∫ x^2 dx = x^3/3 + C - Menentukan fungsi f(x) jika f ‘(x) = exp(x)
Integral tak tentu dari exp(x) adalah exp(x) + C. Maka fungsi f(x) adalah sebagai berikut:
f(x) = ∫ exp(x) dx = exp(x) + C Itulah beberapa contoh soal integral. Dengan memahami contoh-contoh soal tersebut, diharapkan dapat membantu siswa untuk memahami materi integral.