Contoh Soal Induksi Matematika Kelas 11 Beserta Jawabannya Brainly
Induksi matematika adalah salah satu metode pembuktian matematika yang digunakan untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan untuk semua bilangan asli. Metode ini terdiri dari dua langkah, yaitu:
- Langkah induksi dasar: Buktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
- Langkah induksi naik: Buktikan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n = k, maka pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1.
Berikut ini adalah beberapa contoh soal induksi matematika kelas 11 beserta jawabannya:
1. Buktikan bahwa untuk semua bilangan asli n, 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.
Langkah induksi dasar:
Untuk n = 1,
1 = 1(1 + 1)/2 1 = 1/2 Pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
Langkah induksi naik:
Misalkan pernyataan tersebut benar untuk n = k.
1 + 2 + ... + k = k(k + 1)/2 Tunjukkan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1.
1 + 2 + ... + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 2)/2 = k(k + 1)/2 + (k + 1) = k(k + 1)/2 + (2k + 2)/2 = (k + 2)(k + 1)/2 Berdasarkan langkah induksi dasar, pernyataan tersebut benar untuk n = k. Oleh karena itu, pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1.
2. Buktikan bahwa untuk semua bilangan asli n, (2n – 1)(2n + 1) = 4n^2 – 1.
Langkah induksi dasar:
Untuk n = 1,
(2(1) - 1)(2(1) + 1) = 4(1)^2 - 1 = 3 Pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
Langkah induksi naik:
Misalkan pernyataan tersebut benar untuk n = k.
(2k - 1)(2k + 1) = 4k^2 - 1 Tunjukkan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1.
(2(k + 1) - 1)(2(k + 1) + 1) = 4(k + 1)^2 - 1 = (2k - 1)(2k + 1) + 4(k + 1) = 4k^2 - 1 + 4(k + 1) = 4k^2 + 4k - 1 = 4(k^2 + k - 1/4) Berdasarkan langkah induksi dasar, pernyataan tersebut benar untuk n = k. Oleh karena itu, pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1.
3. Buktikan bahwa untuk semua bilangan asli n, 3^n + 2n^2 + 1 adalah bilangan genap.
Langkah induksi dasar:
Untuk n = 1,
3^1 + 2(1)^2 + 1 = 3 + 2 + 1 = 6 Pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
Langkah induksi naik:
Misalkan pernyataan tersebut benar untuk n = k.
3^k + 2k^2 + 1 = 2n^2 + 1 Tunjukkan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1.
3^{k + 1} + 2(k + 1)^2 + 1 = 3(3^k) + 2(k + 1)(k + 1) + 1 = 3(2n^2 + 1) + 2k^2 + 4k + 1