Integral Parsial: Pengertian, Rumus, Contoh Soal, dan Aplikasi
Integral parsial adalah teknik integral yang digunakan untuk menghitung integral dari produk dua fungsi. Teknik ini sering digunakan ketika integral yang harus dihitung sulit atau rumit, terutama ketika satu fungsi dapat diintegralkan dengan mudah sementara yang lainnya tidak.
Pengertian Integral Parsial
Integral parsial didasarkan pada teorema berikut:
∫ f(x) g(x) dx = ∫ u(x) v'(x) dx dimana u(x) dan v(x) adalah dua fungsi yang berbeda, dan u'(x) dan v'(x) adalah turunan dari u(x) dan v(x) masing-masing.
Dengan menggunakan rumus ini, integral dari produk dua fungsi dapat dipecah menjadi dua integral yang lebih mudah diintegrasikan.
Rumus Integral Parsial
Rumus integral parsial dapat ditulis sebagai berikut:
∫ f(x) g(x) dx = u(x) v(x) - ∫ u'(x) v(x) dx dimana:
- f(x) adalah fungsi pertama
- g(x) adalah fungsi kedua
- u(x) adalah fungsi yang mudah diintegralkan
- v(x) adalah fungsi yang sulit diintegralkan
Contoh Soal Integral Parsial
Berikut adalah beberapa contoh soal integral parsial:
Contoh 1
Hitung integral berikut:
∫ x^2 e^x dx Penyelesaian:
Langkah pertama adalah memilih fungsi u(x) dan v(x). Fungsi u(x) haruslah fungsi yang mudah diintegralkan, sedangkan fungsi v(x) haruslah fungsi yang sulit diintegralkan.
Dalam contoh ini, kita dapat memilih u(x) = x^2 dan v(x) = e^x.
Dengan menggunakan rumus integral parsial, kita dapat menghitung integral tersebut sebagai berikut:
∫ x^2 e^x dx = x^2 e^x - ∫ 2x e^x dx Integrasi selanjutnya dapat dilakukan dengan cara biasa.
= x^2 e^x - (x^2 e^x - 2xe^x)/2 = (x^2 e^x - x^2 e^x + 2xe^x)/2 = xe^x Jadi, jawabannya adalah xe^x.
Contoh 2
Hitung integral berikut:
∫ (x^2 + 2x + 1) e^x dx Penyelesaian:
Langkah pertama adalah faktorkan penyebut dari fungsi kedua.
(x^2 + 2x + 1) = (x + 1)^2 Kemudian, kita dapat memilih u(x) = x + 1 dan v(x) = e^x.
Dengan menggunakan rumus integral parsial, kita dapat menghitung integral tersebut sebagai berikut:
∫ (x^2 + 2x + 1) e^x dx = ∫ ((x + 1)^2) e^x dx = (x + 1) e^x - ∫ e^x dx Integrasi selanjutnya dapat dilakukan dengan cara biasa.
= (x + 1) e^x - e^x Jadi, jawabannya adalah (x + 1) e^x – e^x.
Aplikasi Integral Parsial
Integral parsial memiliki berbagai aplikasi dalam matematika, fisika, dan ilmu-ilmu lain. Berikut adalah beberapa contoh aplikasinya:
- Dalam matematika, integral parsial digunakan untuk menghitung integral dari fungsi-fungsi yang kompleks, seperti fungsi trigonometri, fungsi eksponensial, dan fungsi rasional.
- Dalam fisika, integral parsial digunakan untuk menghitung luas permukaan, volume benda, dan gaya yang bekerja pada suatu benda.
- Dalam ilmu kimia, integral parsial digunakan untuk menghitung energi bebas Gibbs, energi Helmholtz, dan energi entropi.
Kesimpulan
Integral parsial adalah teknik integral yang digunakan untuk menghitung integral dari produk dua fungsi. Teknik ini sering digunakan ketika integral yang harus dihitung sulit atau rumit. Integral parsial memiliki berbagai aplikasi dalam matematika, fisika, dan ilmu-ilmu lain.
